Logika Pada Matematika Diskrit

Logika

Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning).

Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan satu dengan yang lainnya(statments).

Proposisi

Suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Nama lain dari proposisi adalah Kalimat Terbuka.

Contoh suatu proposisi :

·         13 adalah bilangan ganjil

·         Hari ini adalah hari Kamis

·         1 + 1 = 2

·         100 : 20 = 5

Contoh yang bukan suatu proposisi:

·         x  + 3 = 10

·         x  > 50

·         Isi gelas itu dengan air !

·         Apa nama ibukota Spanyol ?

Untuk melambangkan sebuah proposisi biasanya menggunakan huruf kecil  p , q , r , . . . .

Mengkombinasikan Proposisi

·         Misalkan p dan q sebuah proposisi :

1.       Konjungsi            :  p dan q    à  notasi  p ᴧ q.

2.       Disjungsi             :   p atau q  à   notasi  p ᴠ q

3.       Ingkaran  dari p :  tidak p     à   notasi  ~p

·         p dan q disebut proposisi anatomik.

·         Kombinasi p dan q menghasilkan proposisi majemuk.

Contoh :

p : Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p ᴧ q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

p ᴠ q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

~p    : Tidak benar hari ini hujan

                (atau : Hari ini tidak hujan)

Hukum-hukum Logika

1.       Hukum identitas :

-          p ᴠ F ó p

-          p ᴧ T ó p

2.       Hukum negasi :

-          p ᴠ ~p  ó  T

-          p ᴧ ~p  ó  F

3.       Hukum null / dominasi:

-          p ᴠ F  ó  T

-          p ᴧ T ó  F

4.       Hukum idempoten :

-          p ᴠ p  ó p

-          p ᴧ p  ó p

5.       Hukum involusi (negasi ganda) :

-          ~( ~p) ó p

6.       Hukum penyerapan (absorpsi) :

-          p ᴠ (p ᴧ p) ó p

-          p ᴧ (p ᴠ  p) ó p

7.       Hukum komutatif :

-          p ᴠ q ó  q ᴠ p

-          p ᴧ q ó  q ᴧ p

8.       Hukum asosiatif :

-          p ᴠ (q ᴠ r ) ó ( p ᴠ q) ᴠ r

-          p ᴧ (q ᴧ r ) ó ( p ᴧ q) ᴧ r

9.       Hukum distributif :

-          p ᴠ (q ᴧ r) ó (p ᴠ q) ᴧ (p ᴠ r)

-          p ᴧ (q ᴠ r) ó (p ᴧ q)  ᴠ (p ᴧ r)

10.   Hukum De Morgan :

-          ~ (p ᴧ q)  ó ~p ᴠ ~q

-          ~ (p ᴠ q)  ó ~p ᴧ ~q

Disjungsi Eksklusif

Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam dua cara :

Ø  Inclusive or

“atau” berarti “p atau q atau keduanya”.

Contoh :  “Karyawan yang dibutuhkan menguasai Bahasa C++ atau Java”.

Ø  Exclusive or

“atau” berarti “p atau q tetapi bukan keduanya”.

Contoh : “Dia lahir di Semarang  atau Tegal”.