fungsi

2.5 Fungsi

•         Fungsi adalah :

                        jenis khusus dari relasi

•         Fungsi f dari X ke Y adalah relasi dari X ke Y yang mempunyai sifat :

1.      Domain dari f adalah X

2.      Jika (x,y), (x,y)’ Î f, maka y = y’

•         Notasi :

                        f : X à Y

Misalkan A dan B merupakan himpunan. Suatu fungsi f dari A ke B merupakan sebuah aturan yang mengkaitkan satu (tepat satu) unsur di B untuk setiap unsur di A. Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A. Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.

Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk :

f : A → B

artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.

A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

Misalkan f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

Contoh 2.25 :

Misalkan f : R (Riil) → R didefinisikan oleh :

f(x) = x².

Daerah asal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan Riil, sedangkan jelajah dari f merupakan himpunan bilangan Riil tidak-negatif.

Contoh 2.26 :

Dibawah ini contoh suatu relasi yang bukan merupakan fungsi :

Berikut ini adalah beberapa contoh fungsi dalam berbagai cara penyajiannya, yaitu :

1. Himpunan pasangan terurut.

Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk :

f = {(2, 4), (3, 9)}

2. Formula pengisian nilai (assignment).

Contoh 2.27 :

f(x) = x² + 10,

f(x) = 5x,

3. Kata-kata

Contoh 2.28 :

“f adalah fungsi yang memetakan jumlah bilangan bulat menjadi kuadratnya”.

4. Kode program (source code)

Contoh 2.29 :

Fungsi menghitung | x | (harga mutlak dari).

function abs(x : integer) : integer;

begin

if x > 0 then

abs := x

else

abs := –x;

end;

Misalkan g merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f merupakan fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Fungsi komposisi f dan g, dinotasikan dengan f ο g, merupakan fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh :

(f ο g)(a) = f(g(a)), untuk suatu a di A.

Perhatikan ilustrasi fungsi komposisi dibawah ini :

Contoh 2.30 :

Misalkan f : Z → Z dan g : Z → Z , diberikan fungsi f(x) = x + 1 dan g(x) = x².

Tentukan f ο g dan g ο f .

Jawab :

(i) (f ο g)(x) = f(g(x)) = f(x ) = x² + 1 .

(ii) (g ο f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1) ² = x² + 2x + 1.

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua unsur himpunan A yang memiliki bayangan sama pada himpunan B.

Contoh 2.31 :

Misalkan f : Z → Z dan g : R → R.

Tentukan apakah f(x) = x² dan g(x) = x + 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?

Jawab :

a. f(x) = x²  bukan fungsi satu-ke-satu,

karena f(2) = f(–2) = 4 padahal –2 ≠ 2.

b. g(x) = x + 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a ≠ b, a + 1 ≠ b + 1.

Misalnya untuk x = 1, g(1) = 2. Sementara itu, untuk x = 2, g(2) = 3.

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap unsur pada himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih unsur himpunan A. Dengan kata lain seluruh unsur B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Misalkan f : Z → Z dan g : R → R.

Tentukan apakah f(x) = x² dan g(x) = x + 1 merupakan fungsi pada !

Jawab :

a. f(x) = x² bukan fungsi pada,

karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f, yaitu

bilangan bulat negatif.

b. g(x) = x + 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan Riil y, selalu ada

nilai x yang memenuhi, yaitu y = x + 1.

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika fungsi tersebut satu-ke-satu dan juga pada.

Agar mendapatkan pengertian yang lebih baik, perhatikan ilustrasi berikut :

Jika f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang berkoresponden satu-ke-satu maka kita senantiasa dapat menemukan balikan (invers) dari fungsi f. Balikan fungsi dinotasikan dengan f ^–1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f ^-1(b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu disebut juga fungsi yang invertible (dapat dibalik), sehingga kita dapat mendefinisikan suatu fungsi balikannya. Jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu ke-satu maka fungsi tersebut dikatakan not invertible (tidak dapat dibalik), karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh 2.33 :

Tentukan balikan fungsi f(x) = x + 1.

Jawab :

Fungsi f(x) = x + 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi invers fungsi tersebut ada.

Misalkan f(x) = y, sehingga y = x + 1, maka x = y – 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f^-1(y) = y – 1.

Contoh 2.34 :

Tentukan balikan fungsi f(x) = x² .

Jawab :

Dari contoh sebelumnya, kita sudah menyimpulkan bahwa f(x) = x² bukan merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x² adalah fungsi yang not invertible.