2.5 Fungsi
•
Fungsi
adalah :
jenis
khusus dari relasi
•
Fungsi
f dari X ke Y adalah relasi dari X ke Y yang mempunyai sifat :
1. Domain dari f adalah X
2. Jika (x,y), (x,y)’ Î f, maka y = y’
•
Notasi
:
f : X à Y
Misalkan A dan
B merupakan himpunan. Suatu fungsi f dari A ke B merupakan
sebuah aturan yang mengkaitkan satu (tepat satu) unsur di B untuk setiap
unsur di A. Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b
merupakan unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A.
Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c
maka b = c.
Jika f adalah fungsi dari
himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk :
f : A → B
artinya f memetakan himpunan
A ke himpunan B.
A dinamakan daerah asal (domain)
dari f dan B dinamakan daerah hasil (codomain) dari f.
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
Misalkan f(a)
= b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a
dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang
berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f.
Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper
subset) dari B.
Contoh 2.25 :
Misalkan f : R (Riil) → R didefinisikan
oleh :
f(x)
= x².
Daerah asal dan daerah hasil dari f adalah
himpunan bilangan Riil, sedangkan jelajah dari f merupakan himpunan
bilangan Riil tidak-negatif.
Contoh 2.26 :
Dibawah
ini contoh suatu relasi yang bukan merupakan fungsi :
Berikut
ini adalah beberapa contoh fungsi dalam berbagai cara penyajiannya, yaitu :
1.
Himpunan pasangan terurut.
Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk :
f = {(2, 4),
(3, 9)}
2. Formula pengisian nilai (assignment).
Contoh
2.27 :
f(x)
= x²
+ 10,
f(x)
= 5x,
3. Kata-kata
Contoh
2.28 :
“f
adalah fungsi yang memetakan jumlah bilangan bulat menjadi kuadratnya”.
4. Kode program (source code)
Contoh
2.29 :
Fungsi menghitung | x | (harga mutlak dari).
function
abs(x : integer) : integer;
begin
if x
> 0 then
abs
:= x
else
abs
:= –x;
end;
Misalkan g merupakan fungsi dari
himpunan A ke himpunan B, dan f merupakan fungsi dari
himpunan B ke himpunan C. Fungsi komposisi f dan g,
dinotasikan dengan f ο g, merupakan fungsi dari A ke C yang
didefinisikan oleh :
(f
ο g)(a) = f(g(a)), untuk suatu a di
A.
Perhatikan
ilustrasi fungsi komposisi dibawah ini :
Contoh
2.30 :
Misalkan f : Z → Z dan g : Z → Z ,
diberikan fungsi f(x) = x + 1 dan g(x) = x².
Tentukan f ο g dan g ο f .
Jawab :
(i) (f ο g)(x) = f(g(x))
= f(x ) = x² + 1 .
(ii) (g ο f)(x) = g(f(x))
= g(x + 1) = (x + 1) ² = x² + 2x +
1.
Suatu fungsi f dari himpunan A ke
himpunan B dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif
(injective) jika tidak ada dua unsur himpunan A yang memiliki
bayangan sama pada himpunan B.
Contoh
2.31 :
Misalkan f : Z → Z dan g : R → R.
Tentukan apakah f(x) = x² dan g(x)
= x + 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?
Jawab
:
a. f(x) = x² bukan fungsi satu-ke-satu,
karena f(2) = f(–2) = 4 padahal –2 ≠ 2.
b. g(x) = x + 1 adalah fungsi
satu-ke-satu karena untuk a ≠ b, a + 1 ≠ b + 1.
Misalnya untuk x = 1, g(1) = 2.
Sementara itu, untuk x = 2, g(2) = 3.
Suatu
fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan pada (onto)
atau surjektif (surjective) jika setiap unsur pada himpunan B merupakan
bayangan dari satu atau lebih unsur himpunan A. Dengan kata lain seluruh
unsur B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada
himpunan B.
Misalkan f : Z → Z dan g :
R → R.
Tentukan apakah f(x) = x² dan g(x)
= x + 1 merupakan fungsi pada !
Jawab :
a. f(x) = x² bukan
fungsi pada,
karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan
jelajah dari f, yaitu
bilangan bulat negatif.
b. g(x) = x + 1 adalah fungsi
pada karena untuk setiap bilangan Riil y, selalu ada
nilai x yang memenuhi, yaitu y = x +
1.
Suatu
fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan berkoresponden
satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika fungsi tersebut satu-ke-satu
dan juga pada.
Agar
mendapatkan pengertian yang lebih baik, perhatikan ilustrasi berikut :
Jika f merupakan fungsi dari himpunan A ke
himpunan B yang berkoresponden satu-ke-satu maka kita senantiasa dapat
menemukan balikan (invers) dari fungsi f. Balikan fungsi
dinotasikan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota
himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b)
= a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden
satu-ke-satu disebut juga fungsi yang invertible (dapat dibalik),
sehingga kita dapat mendefinisikan suatu fungsi balikannya. Jika ia bukan
fungsi yang berkoresponden satu ke-satu maka fungsi tersebut dikatakan not
invertible (tidak dapat dibalik), karena fungsi balikannya tidak ada.
Contoh
2.33 :
Tentukan balikan fungsi f(x) = x +
1.
Jawab :
Fungsi f(x) = x + 1 merupakan
fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi invers fungsi tersebut ada.
Misalkan f(x) = y, sehingga y =
x + 1, maka x = y – 1. Jadi, balikan fungsi balikannya
adalah f-1(y) = y – 1.
Contoh
2.34 :
Tentukan balikan fungsi f(x) = x²
.
Jawab :
Dari contoh sebelumnya, kita sudah menyimpulkan bahwa f(x)
= x²
bukan merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga
fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x² adalah
fungsi yang not invertible.